Η Θεωρία των Παιγνίων & το Θεώρημα του John Nash, η Θεωρία των Γραφημάτων, η Φασματική ανάλυση & η Θεωρία της Γραμμικής Άλγεβρας, τα Διαγράμματα Voronoi: συνοπτικά και με απλά λόγια από τον Νίκο Λυγερό (ηχητικό).Εφαρμογές. Κωνσταντίνος Δασκαλάκης.

BlackMediterraneanPirate   18-08-2011   12:40 / 24-05-2015

short link   wp.me/pPn6Y-a3U

Voronoi image by KOOK Architecture,

Silvan Oesterle and Michael Knauss.

www.qhull.org/html/qvoronoi.htm )

Συνέντευξη του Νίκου Λυγερού στην ραδιοφωνική εκπομπή “Αφύλακτη διάβαση”
με τον Μίκη Κασάπη, Τρίτο Πρόγραμμα ΡΙΚ, 11-08-2011

(με αφορμή την Ημερίδα Τοποστρατηγικής στο Καστελόριζο, 14-08-2011 )

Πηγή: lygeros.orghellenicspace.wordpress.com

>εδώ

————————————————————————————————————————————————
[…]
Οι εκλογές και η θεωρία των παιγνίων
Ο Russell Crowe σε στιγμιότυπο από την ταινία «Ενας υπέροχος άνθρωπος», όπου υποδύθηκε τον νομπελίστα μαθηματικό και οικονομολόγο John Nash, εκ των κορυφαίων της θεωρίας των παιγνίων

Ακολουθώντας τον Richard Feynman, θα λέγαμε ότι οι καλοί επιστήμονες πρέπει να ξέρουν έξι ή επτά διαφορετικές μεθόδους επίλυσης του ίδιου προβλήματος.
Σε πολλές περιπτώσεις, μία από αυτές είναι η θεωρία παιγνίων.

Πράγματι, είτε το θέλουμε ή όχι, όλοι παίζουμε παιχνίδια – και όχι μόνο τις ημέρες των γιορτών.

Στη ζωή μας αντιμετωπίζουμε συνεχώς καταστάσεις στις οποίες καλούμαστε να πάρουμε αποφάσεις που βασίζονται στη γνώση μας και στην προηγούμενη εμπειρία.

H δυσκολία έγκειται στο ότι οι πληροφορίες μας είναι συχνά ελλιπείς ή περιορισμένες, οι καταστάσεις μεταβάλλονται και, το χειρότερο, υπάρχουν πολλοί άλλοι που προσπαθούν να κάνουν το ίδιο πράγμα.

‘Ετσι πολλές πλευρές της ζωής μας μπορεί να θεωρηθούν σαν ένα ανταγωνιστικό παιγνίδι, το οποίο προσπαθούμε επανειλημμένα να κερδίσουμε. Σε πολλές περιπτώσεις, είναι προτιμότερο να συνεργαστούμε, όπως παραδείγματος χάρη στη δουλειά μας ή μέσα σε μια μεγαλύτερη ομάδα.

H θεωρία παιγνίων παρέχει έναν τρόπο να χειριστούμε απλές μορφές τέτοιων παιχνιδιών: συνήθως στατικές (χωρίς επανάληψη) περιπτώσεις με έναν περιορισμένο αριθμό παικτών, καθένας από τους οποίους έχει πρόσβαση στις ίδιες στρατηγικές.

H θεωρία παιγνίων ξεκίνησε ουσιαστικά το 1928, όταν ο ουγγρικής καταγωγής μεγάλος μαθηματικός John von Neumann δημοσίευσε το θεμελιώδες θεώρημα «μηδενικού αθροίσματος» στο οποίο η απώλεια ενός παίκτη είναι ίση με το κέρδος ενός δεύτερου.

Στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον von Neumann σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern, όταν το 1944 δημοσίευσαν τη Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά για να μελετήσουν ανθρώπινες αλληλεπιδράσεις, όπου το καλύτερο που μπορεί να πετύχει κανείς εξαρτάται από το τι θα κάνει ο αντίπαλος.

‘Εκτοτε η θεωρία παιγνίων εφαρμόστηκε σε ένα μεγάλο εύρος πεδίων (ιδιαίτερα όταν υπάρχουν δύο μείζονες «παίκτες»), που εκτείνεται από τις πολεμικές επιχειρήσεις, την πολιτική και την οικονομία ως τη βιολογία, την κοινωνική ψυχολογία και τη φιλοσοφία, χωρίς να παραλείπουμε τα διαδικτυακά παιχνίδια στον κυβερνοχώρο και τις συνέπειές τους.

Και το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν υπάρχει κάποια πιο θεμελιώδης σχέση ανάμεσα στη θεωρία παιγνίων και στη βασική επιστήμη.

* H στρατηγική και οι επιλογές

Στην κλασική θεωρία παιγνίων έχουμε ένα σύνολο παικτών, ένα σύνολο στρατηγικών, που υπαγορεύει τη δράση την οποία πρέπει να ακολουθήσει κάθε παίκτης και μια «συνάρτηση ανταπόδοσης» για κάθε επιλογή στρατηγικής.

H ανταπόδοση παριστάνεται με μια αριθμητική τιμή.

Σκοπός ενός παίκτη είναι βέβαια να βελτιστοποιήσει την ανταπόδοση γι’ αυτόν.

Επειδή όμως και οποιοσδήποτε άλλος προσπαθεί να πετύχει τον ίδιο στόχο, το ερώτημα είναι πώς θα πρέπει να ενεργήσει κάθε παίκτης.

Ενα μέγεθος που θα προσδιόριζε τον σκοπό ενός παίκτη είναι η λεγόμενη «ισορροπία Nash», μια έννοια που οφείλεται στον νομπελίστα μαθηματικό και οικονομολόγο John Nash, η τυραννισμένη ζωή του οποίου αποτέλεσε το θέμα της γνωστής ταινίας «Ενας υπέροχος άνθρωπος».

Ο John Nash έδειξε ότι σε κάθε στατικό παιχνίδι με ένα πεπερασμένο σύνολο στρατηγικών υπάρχει τουλάχιστον μία κατάσταση ισορροπίας, που αντιστοιχεί σε επιλογές στρατηγικής οι οποίες παρέχουν τη βέλτιστη ανταπόδοση και για τους δύο παίκτες: κανένας παίκτης δεν μπορεί να πετύχει κάτι καλύτερο αλλάζοντας τη στρατηγική του, τη στιγμή που η στρατηγική του άλλου παραμένει αμετάβλητη.

H εργασία του Nash δεν δείχνει ωστόσο το πώς μπορεί κανείς να υπολογίσει μια τέτοια ισορροπία ούτε πόσες από αυτές υπάρχουν.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και απλά παιχνίδια έχουν μια πλειάδα ισορροπιών Nash και δεν υπάρχει τρόπος να ξεχωρίσει κανείς κάποια ιδιαίτερη.

Μάλιστα, εκτός από το γεγονός ότι, αν και οι δύο παίκτες αποφασίσουν να μεγιστοποιήσουν την ανταπόδοσή τους, υπάρχει περίπτωση να καταλήξουν στο χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα και για τους δύο, το πρόσθετο πρόβλημα είναι πως, ακόμη και αν διαλέξουν μια στρατηγική που αντιστοιχεί σε μια ισορροπία Nash, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι να απεμπολήσουν μια ευνοϊκότερη ανταπόδοση.

Αυτό φαίνεται στο φημισμένο «δίλημμα του κρατούμενου».

Ας υποθέσουμε ότι δύο άνθρωποι έχουν συλληφθεί ως ύποπτοι για κάποια παράβαση που έκαναν από κοινού.

Οι δύο ύποπτοι κρατούνται σε διαφορετικά δωμάτια για ανάκριση, χωρίς να είναι σε θέση να επικοινωνούν μεταξύ τους.

Αν ο ένας εξ αυτών ομολογήσει, ενώ ο άλλος κρατήσει το στόμα του κλειστό, τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος, ενώ ο άλλος που κράτησε το στόμα του κλειστό θα καταδικαστεί σε φυλάκιση τριών χρόνων.

Αν και οι δύο ομολογήσουν (προδίδοντας έτσι ο ένας τον άλλον), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση δύο χρόνων ο καθένας.

Αν, τέλος, και οι δύο κρατήσουν το στόμα τους κλειστό (ουσιαστικά συνεργαζόμενοι), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση ενός χρόνου ο καθένας.

H ισορροπία Nash υπάρχει όταν και οι δύο ύποπτοι ομολογούν, αν και η περίπτωση που συνεργάζονται κρατώντας το στόμα τους κλειστό έχει καλύτερη ανταπόδοση για τον καθέναν τους.

* H εφαρμογή στη βιολογία

Επανερχόμενοι τώρα στο αρχικό ερώτημα, θα πρέπει πρώτα να σταθούμε στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων στη βιολογία, δηλαδή στην εφαρμογή της «καλύτερης στρατηγικής» στον (συν)ανταγωνισμό ή στη συνεργασία μεταξύ παικτών σε επίπεδο ειδών ή μεμονωμένων ζώων.

Αυτό έχει γίνει στις περιπτώσεις εκείνες όπου είναι δύσκολο να προβλέψει κανείς τα αποτελέσματα της φυσικής επιλογής, επειδή το καλύτερο που μπορεί να γίνει εξαρτάται από το τι κάνουν τα άλλα μέλη ενός πληθυσμού.

Οι τεχνικές της θεωρίας παιγνίων χρησιμοποιήθηκαν πράγματι σε απλά μοντέλα «εξελικτικών παιχνιδιών» για να προσφέρουν μιαν εξήγηση για την εξέλιξη ορισμένων χαρακτηριστικών.

Ετσι ο βρετανός βιολόγος  John Maynard Smith διατύπωσε μια εξελικτική θεωρία παιγνίων, καταλήγοντας στην έννοια της «εξελικτικά ευσταθούς στρατηγικής» που, αν όλα σχεδόν τα μέλη ενός πληθυσμού υιοθετήσουν, καμία άλλη μεταλλαγμένη στρατηγική δεν μπορεί να αποδώσει καλύτερα έναντί της και να «απειλήσει» τον πληθυσμό.

Από την άλλη μεριά, κάποιοι είχαν ήδη υποθέσει ότι πιθανόν δεν χρειάζεται ένα τέλεια ορθολογικό ον για να αναγνωρίσει την καλύτερη στρατηγική και προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη θεωρία σε μοντέλα θεμελιωδών μικροβιολογικών δομών. Το ενδιαφέρον είναι ότι ανακαλύφθηκε πως μικροσκοπικά μόρια RNA μπορεί πράγματι να εμπλακούν σε απλά παιχνίδια δύο παικτών.

Αυτό, μεταξύ άλλων, παρακίνησε να εξεταστεί αν υπάρχει κάποια σύνδεση ανάμεσα στη θεωρία παιγνίων και το πιο θεμελιώδες επίπεδο βασικής επιστήμης, την κβαντική φυσική.

Παραδείγματος χάριν, αν ερμηνεύσουμε τις ανταποδόσεις ως ενεργειακά κέρδη, είναι δυνατόν να απεικονίσουμε το δίλημμα του κρατούμενου με όρους ενός απλού φυσικού μοντέλου δύο ηλεκτρονίων στις ηλεκτρονικές στοιβάδες ενός ατόμου.

Ο Niels Bohr πίστευε ότι η ανακάλυψη της κβαντικής φυσικής σήμαινε κάτι παραπάνω από την ανακάλυψη των νόμων της μικροφυσικής, μια και βασικές πλευρές της κβαντικής μηχανικής – συμπληρωματικότητα, μη αντιμεταθετικότητα – θα μπορούσαν να εκδηλωθούν σε άλλους τομείς της επιστήμης.

H ιδέα να συνδυαστεί η κβαντική μηχανική με τη θεωρία παιγνίων είναι κάτι που ξεκίνησε το 1999.

Την ίδια χρονιά τρεις γερμανοί φυσικοί πρότειναν την κβαντική εκδοχή του κλασικού παιχνιδιού του «διλήμματος του κρατούμενου».

Κάνοντας χρήση τού χαρακτηριστικά αποκλειστικού γνωρίσματος της κβαντικής μηχανικής περί κβαντικά συσχετισμένων καταστάσεων, έδειξαν ότι σε ένα κβαντικό παιχνίδι η προκύπτουσα ανταπόδοση μπορεί να είναι υψηλότερη απ’ ό,τι σε ένα κλασικό παιχνίδι και κατέληξαν στο ότι η κβαντική εκδοχή του παιχνιδιού κατέχει μια μοναδική ισορροπία Nash, η οποία όμως ταυτόχρονα δίνει και τις μέγιστες δυνατές ανταποδόσεις (υπάρχει δηλαδή η λεγόμενη «βέλτιστη κατά Pareto ισορροπία», μια έννοια που επινοήθηκε από τον ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Pareto).

Προφανώς στο κβαντικό παιχνίδι οι παίκτες καταφέρνουν να λύσουν το δίλημμα!

Δύο φτιάχνουν παρέα, τρεις αποτελούν πλήθος, όπως συνήθως λέγεται.

‘Ηδη κλασικά συστήματα τριών σωματίων εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά.

Και κβαντικά συστήματα πολλών σωματίων παρουσιάζουν ενδιαφέροντα πολύπλοκα φαινόμενα.

Αριθμητικές προσομοιώσεις που έγιναν σε επαναλαμβανόμενα κλασικά παιχνίδια έδειξαν ότι νέα φαινόμενα προκύπτουν στο όριο πολλών παικτών. Παράδειγμα είναι η κατάρρευση μιας χρηματιστηριακής αγοράς, που συμβαίνει όταν κάποιοι αποφασίσουν ξαφνικά να πουλήσουν τις μετοχές τους την ίδια χρονική στιγμή.

H κβαντική εκδοχή ενός κλασικού παιχνιδιού πολλών παικτών εξακολουθεί να δείχνει ότι υπάρχει ανώτερο αποτέλεσμα από αυτό που μπορεί να επιτευχθεί κλασικά. Ουσιαστικά ο λόγος είναι ότι οι κβαντικές συσχετίσεις επιτρέπουν μεγαλύτερο αριθμό στρατηγικών ανάμεσα στις οποίες μπορεί κανείς να διαλέξει και, έτσι, χρειάζεται να ανταλλαγεί λιγότερη πληροφορία για να «παιχθεί» η κβαντική εκδοχή. Αυτό όμως αποτελεί εξιδανικευμένη περίπτωση. Οπως είναι ο κανόνας, το κβαντικό πλεονέκτημα χάνεται πάνω από μια κρίσιμη τιμή «περιβαλλοντικού θορύβου», που αναπόφευκτα συνοδεύει τα κανάλια επικοινωνίας και που τελικά κάνει τα κβαντικά παιχνίδια να μεταπίπτουν στη νομολογία της κλασικής θεωρίας παιγνίων.

* Τα μοντέλα αλληλεπίδρασης

H κβαντική θεωρία παιγνίων θα μπορούσε να συνδυαστεί με τη στατιστική μελέτη συστημάτων πολύ μεγάλου αριθμού σωματίων.

Εκεί είναι γνωστό από συγκεκριμένα μοντέλα αλληλεπίδρασης των σωματίων ότι κατά τις μετατροπές από μια φάση, όπως λέμε, σε μιαν άλλη αρκούν πολύ μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες για να οδηγήσουν σε μεγάλες ποιοτικές αλλαγές στο αποτέλεσμα.

Στην κλασική θεωρία παιγνίων, από την άλλη μεριά, ένα δημοφιλές θέμα αποτελούν οι πολιτικές εκλογές.

Αν υποθέσουμε μια κατ’ αντιστοιχία αλληλεπίδραση των πολλών ψηφοφόρων, μπορεί ένας υποψήφιος ή ένα κόμμα που ξεκινά με σχεδόν ίσους όρους με έναν αντίπαλο στο τέλος να κατισχύσει απλώς παίρνοντας την πρόσθετη υποστήριξη ενός μικρού τμήματος του πληθυσμού ή μιας μικρής περιοχής.

Στην ίδια κατεύθυνση, η ανταλλαγή και επεξεργασία της πληροφορίας που είδαμε στα κβαντικά παιχνίδια σημαίνει ότι πρέπει να υποβάλουμε το σύστημα σε μια διαδικασία μέτρησης. Και αυτό αναπόφευκτα το αλλάζει, καταστρέφοντας τις παλιές και δημιουργώντας νέες καταστάσεις.

Με αυτή την έννοια έχει υποστηριχθεί η ιδέα ότι μια διαδικασία μέτρησης παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στη φύση. Το ίδιο όμως μπορούμε να πούμε για μια δημοσκόπηση, ότι παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στο εκλογικό σώμα.

Ομολογουμένως πολλές από τις παραπάνω θεωρήσεις βρίσκονται ακόμη σε ένα επίπεδο αδιευκρίνιστο. Και στον βαθμό που θα μπορούν στο μέλλον να ερευνηθούν και να διευκρινιστούν, ίσως θα χρειαστούν και οι υπόλοιπες πέντε ή έξι μέθοδοι που υπαινισσόταν ο Feynman για μια καλή κατανόηση.

Προς το παρόν ας αρκεστούμε να φανταζόμαστε ότι πολλά πράγματα γύρω μας δεν φαίνεται παρά να αποτελούν ένα μεγάλο παιχνίδι.

Πηγή: tovima.gr [από το άρθρο «Οι εκλογές και η θεωρία των παιγνίων», ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ:  13/06/2004, 00:00

Συγγραφέας άρθρου: Κωνσταντίνος Βαγιονάκης-Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων),

http://www.tovima.gr/opinions/article/?aid=159506  ]

——————————————————————————————————————————————————

O 28χρονος Έλληνας που έλυσε το γρίφο του Τζον Νας

19-06-2009    01:30 PM

Κ. Δασκαλάκης

Νίκησε τον «υπέροχο άνθρωπο»

Ο 28χρονος Κ. Δασκαλάκης έλυσε τον γρίφο του νομπελίστα Τζον Νας

«Πληροφορική δεν είναι μόνο ο προγραμματισμός ή το Εxcel, όπως ο περισσότερος κόσμος πιστεύει. Πίσω από αυτά κρύβεται ένα πολύπλοκο αλλά ταυτόχρονα συναρπαστικό σύστημα, οι δυνατότητες του οποίου είναι σε μεγάλο βαθμό ανεξερεύνητες. Αυτό λοιπόν καλούμαστε οι επιστήμονες να κάνουμε, να ρίξουμε φως στις… σκοτεινές πλευρές της πληροφορικής».

Πριν από μερικές εβδομάδες ο 28χρονος Κων. Δασκαλάκης τράβηξε τα βλέμματα της διεθνούς ακαδημαϊκής κοινότητας πάνω του, καθώς βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο.
Αφετηρία ήταν ο γρίφος που παρέμενε άλυτος από την εποχή που ο Τζον Νας (John Nash) , Βραβείο Νόμπελ Οικονομίας το 1994, διατύπωσε το θεώρημα για τη θεωρία των παιγνίων.

Ο Αμερικανός επιστήμονας τη δεκαετία του ΄50 έφτιαξε ένα απλοποιημένο σύστημα των σχέσεων και των ενεργειών κάποιων ανθρώπων που βρίσκονταν σε καταστάσεις με διαφορετικά συμφέροντα, όπως το να είναι αντίπαλοι σε ένα παιχνίδι. Κι έδειξε ότι σε κάθε αγορά, ακόμη κι όταν υπάρχουν αντικρουόμενα συμφέροντα, υπάρχει τρόπος να βρεθεί η ισορροπία.

John Nash  φωτο:  press.princeton.edu

John Forbes Nash Jr.   [ (born June 13, 1928) is an American mathematician and economist. Serving as a Senior Research Mathematician at Princeton University during the later part of his life, he shared the 1994 Nobel Memorial Prize in Economic Sciences with game theorists Reinhard Selten and John Harsanyi. ]

φωτο: en.wikipedia.org  (  http://en.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash )

Μετά τη διατύπωση της θεωρίας του Νας- η οποία δεν βρίσκει εφαρμογή μόνο στα παιχνίδια αλλά και στην αγορά ή το Διδίκτυο- ξεκίνησαν πολλοί επιστήμονες να ψάχνουν με ποιον τρόπο μπορεί κανείς να προβλέψει την ισορροπία Νας ( Nash Equlibrium ), όπως για παράδειγμα τι θα γίνει στην αγορά ή το να προβλέψει κανείς ποιος θα κερδίσει στο σκάκι ή ποια στρατηγική είναι καλύτερη στο πόκερ.

Το αντικείμενο με το οποίο ασχολείται, όπως παραδέχεται, είναι αρκετά δύσκολο για τον περισσότερο κόσμο.

Η διδακτορική του διατριβή μελετά το Θεώρημα του Νας, στη θεωρία των παιγνίων, θεώρημα για το οποίο το 1994 ο Νας κέρδισε το Νόμπελ Οικονομίας.

«Την επιστήμη μου την ενδιαφέρει κυρίως το Ίντερνετ. Πρόκειται για ένα μέσο που χρησιμοποιείται από εκατομμύρια χρήστες και ελέγχεται από διάφορες εταιρείες, οργανισμούς και κράτη. Όλοι όμως έχουν διαφορετικά συμφέροντα, που μερικές φορές επηρεάζουν την ελεύθερη κίνηση της πληροφορίας. Έτσι, αυτό που καλούμαστε να κάνουμε είναι να σχεδιάσουμε ένα «γερό» Ίντερνετ, όπου η πληροφορία θα ταξιδεύει όσο πιο γρήγορα γίνεται με ασφάλεια, ενώ παράλληλα θα προστατεύεται η ελευθερία του λόγου», λέει στα «ΝΕΑ» ο 28χρονος επιστήμονας.

Σε συνέντευξή του στα «Νέα» δηλώνει :

«Θα χαθώ στην Ελλάδα…»
«Το αντικείμενό μου είναι τέτοιο που φοβάμαι ότι αν ερχόμουν στην Ελλάδα δεν θα μπορούσα να συνεχίσω τις έρευνές μου. Το πιο πιθανό είναι ότι δεν θα υπήρχαν οι κατάλληλες συνθήκες, ενδεχομένως ούτε η απαραίτητη υποστήριξη στο ερευνητικό μου έργο. Φοβάμαι ότι μπορεί να χαθώ στην ελληνική γραφειοκρατία» λέει. Αυτό που του αρέσει ιδιαίτερα στη Βοστώνη είναι ότι είναι ένας τεράστιος ακαδημαϊκός χώρος. «Ο μισός πληθυσμός της πόλης έχει σχέση με τον πανεπιστημιακό κόσμο».

Πηγή : www.omogenia.com/forum/showtopic.php?tid/54320/ ( &  tanea.gr )

*********************************************************************************************************

BlackMediterraneanPirate

 

Σύντομος Σύνδεσμος      wp.me/pPn6Y-a3U

2 thoughts on “Η Θεωρία των Παιγνίων & το Θεώρημα του John Nash, η Θεωρία των Γραφημάτων, η Φασματική ανάλυση & η Θεωρία της Γραμμικής Άλγεβρας, τα Διαγράμματα Voronoi: συνοπτικά και με απλά λόγια από τον Νίκο Λυγερό (ηχητικό).Εφαρμογές. Κωνσταντίνος Δασκαλάκης.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s